Нам уже известно, что дискретное вейвлетное преобразование может восстанавливать изображения, если известно малое число коэффициентов преобразования. Первый пример этого параграфа иллюстрирует такое важное свойство, как способность реконструировать сильно огрубленные изображения, но без внесения артефактов, в которых обнулена значительная часть коэффициентов преобразования с помощью грубого квантования. Другие преобразования, особенно это касается DCT, способны вносить дополнительные артефакты в сжатый образ. Это свойство DWT делает его идеальным, например, в таких приложениях, как при сжатии отпечатков пальцев [Salomon 2000].

В этом примере используются функции f wt2 и iwt2 из рис. 4.27 и 4.28 для размытия или затуманивания изображения. Идея заключается в вычислении 4 шагов под диапазонного преобразования образа (то есть, остановиться на 13 подуровнях), после чего приравнять большинство коэффициентов преобразования к нулю и грубо квантовать некоторые из оставшихся коэффициентов. Все это, конечно, означает потерю значительной доли информации и несовершенное восстановление данного изображения. При этом важно, что сжатый образ представляет собой размытие (затуманивание) исход ного изображения, а не огрубление его и внесение дополнительных артефактов.

clear, colormap(gray);

filename= * 1епа128'; dim=128;

fid=fopen(filename,'r');

img=fread(fid,[dim,dim])';

filt=[0.23037,0.71484,0.63088,-0.02798, . ..

-0.18703,0.03084,0.03288,-0.01059]; fwim=fwt2(img,3,filt); figure(l), imagesc(fwim), axis square

fwim(l:16,17:32)=fwim(l:16,17:32)/2;

fvim(l:16,33:128)=0;

fwim(17:32,l:32)=fwim(17:32,l:32)/2;

fwim(17:32,33:128)=0;

fwim(33:128,:)=0; figure(2), colormap(gray), imagesc(fwim) rec=iwt2(fwim,3,filt); figure(3), colormap(gray), imagesc(rec)

Рис. 4.29. Размытие, как результат грубого квантования.

На рис. 4.29 показан результат размытия изображения «Lena». На рис. 4.29а и 4.29Ь изображены, соответственно, логарифмическое дерево мультиразрешения и структура поддиапазонов образа.

(а)

(б)

(с)
Табл. 4.30. Преобразования Добеши и Хаара средней строки образа «Lena»

На рис. 4.29с приведен результат квантования. Коэффициенты преобразования поддиапазонов 5-7 были разделены на 2, а все коэффициенты поддиапазонов 8-13 были просто стерты. Прежде всего, большая часть изображения 4.29с выглядит равномерно черным (то есть, с нулевыми пикселами), однако более тщательное визуальное изучение обнаружит много ненулевых коэффициентов в поддиапазонах 5-7. Можно сказать, что размытое изображение на рис. 4.29d было получено при использовании всех коэффициентов поддиапазонов 1-4 (1/64 от общего числа коэффициентов преобразования) и половины коэффициентов поддиапазонов 5-7 (половины от 3/64, то есть, 3/128). Таким образом, изображение было восстановлено при использовании примерно 5/128 « 0.039 или 3.9% от общего числа коэффициентов преобразования. В этих вычислениях использовался вейвлет Добеши D8. Я призываю читателей поупражняться с этой программой и оценить достоинства этого и других фильтров.

< <WaveletTransform.m data={148,141,137,124,101,104,105,103, 98, 89,100,136

,155,154,155,155,157,157,154,150};

forward = Wavelet[data, Daubechies[4]]

NumberForm[forward,{6,2}]

inverse = InverseWavelet[forward,Daubechies[4]]

data = inverse

(a) (Matematica)

У. Преобразование Хаара (средние и разности)

data=[148 141 137 124 101 104 105 103 98 89 100 136 ...

155 154 155 155 157 157 154 150]; n=128; ln=7; Uog_2 n=7 for k=l:ln, for i=l:n/2,

il=2*i; j=n/2+i;

newdat(i)=(data(il-l)+data(il))/2; newdat(j)=(data(j-l)-data(j))/2; end

data=newdat; n=n/2; end round(100*data)/100

(b) (Matlab)

Рис. 4.31. Программы для вычисления табл. 4.30.

автоматические ворота санкт петербург

Второй пример демонстрирует преимущества фильтра Добеши D4 по сравнению с простейшим фильтром Хаара, основанном на взятии средних и разностей, если сравнивать концентрацию энергии образов.

Все для детективной деятельности - детективное агентство.

В табл. 4.30а приведены значения 128 пикселов, которые образуют строку 64 (среднюю линию) полутонового изображения «Lena» размера 128 х 128. В табл. 4.30Ь и 4.30с перечислены, соответственно, коэффициенты вейвлетного преобразования Добеши D4 и преобразования Хаара для этих данных. Первый коэффициент обоих преобразований одинаковый, но все остальные 127 коэффициентов, в среднем, меньше у преобразования D8. Это указывает на то, что фильтр D8 лучше концентрирует энергию образа. Среднее абсолютных величин этих 127 коэффициентов для D8 равно 2.1790, в то время как для фильтра Хаара эта величина равна 9.8446, то есть почти в 4.5 раза больше. Программы вычисления таблиц 4.30Ь и 4.30с даны на рис. 4.31. Отметим, что первая программа использует пакет WaveletTransferm.m системы Matematica, разработанный Али-старом Роу и Полем Эботом, который размещен по адресу [Alistar, Abbott 01].