В основе преобразования Хаара лежит вычисление средних и разностей. Оказывается, .что эти операции можно легко выразить с помощью умножений соответствующих матриц (см. [Mulcahy 96] и [Mulcahy 97]). Для примера рассмотрим верхнюю строку простого изображения размера 8 х 8 из рис. 4.8. Каждый, кто немного знаком с операциями над матрицами, легко построит матрицу, которая при умножении на некоторый вектор дает другой вектор, состоящий из четырех полусумм и четырех полуразностей элементов этого вектора. Обозначим эту матрицу Ai. Ее произведение на вектор рассматриваемого примера (верхняя строка матрицы на рис. 4.8) равно (239.5,175.5,111.0,47.5,15.5,16.5,16.0,15.5). Это видно из уравнения (4.1). Аналогично, матрицы А 2 и Аз производят, соответственно, второй и третий шаг преобразования. Его результат показан в формуле.

Вместо того, чтобы вычислять средние и разности строк, можно построить матрицы Ai, A2 и Аз, перемножить их, получить матрицу

W = A1A₂A₃,

а затем применить ее к вектору I:

В этом заключается только половина работы. Для того, чтобы сделать полное преобразование, необходимо применить W к строкам произведения WI, или, что то же самое, умножим W на (WI) . Результат для удобства тоже транспонируем. Полное преобразование (см. строку timg=w*img*w^, рис. 4.12) равно

i_tr = (w (wi)^T) = wiw^T.

Для обратного преобразования справедлива формула

w-'(w-ⁱi?;)^T = w-ⁱ(i_tr(w-ⁱ)^T).

В этом месте становится важным нормализованное преобразование Хаара (упомянутое на стр. 216). Вместо вычисления средних (выражений (di + di₊\) /2) и разностей (выражений (di — d_?;+i) /2) лучше вычислять величины (di + c/j+i) /у/2 и (di — di+\) /\/2. Это приводит к ортогональной матрицы W, а хорошо известно, что обращение такой матрицы сводится к ее транспонированию. Следовательно, обратное преобразование запишется в простом виде W^TI_trW (см. строку cimg=full(w^,*sparse(dimg)*w на рис. 4.12).

Между процедурами прямого и обратного преобразования некоторые коэффициенты могут быть квантованы или отброшены. Кроме того, для лучшего сжатия, матрицу I_tr можно кодировать по методу RLE и/или по методу Хаффмана.

Функция individ(n) на рис. 4.12 начинается с матрицы преобразования Хаара размера 2x2 (заметим, что вместо знаменателя 2 взято число \/2), затем использует эту матрицу для построения необходимого числа матриц А₇;. Функция harmatt(dim) формирует окончательную матрицу Хаара для изображения, состоящего из dim строк и dim столбцов.

Пример: Программа Matlab на рис. 4.15 вычисляет W в виде произведения трех матриц Ai, A2 и Аз, после чего делает преобразования изображения размера 8 х 8 из рис. 4.8. Результатом становится матрица 8x8, состоящая из коэффициентов преобразования, в которой верхний левый коэффициент 131.375 равен среднему всех 64 пикселов исходного изображения.

al=[l/2 1/2 0 0 0 0 0 0; 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0;

О 0 0 0 1/2 1/2 0 0; 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2;

1/2 -1/2 0 0 0 0 0 0; 0 0 1/2 -1/2 0 0 0 0;

0 0 0 0 1/2 -1/2 0 0; О О О О О О 1/2 -1/2]; У. al*[255; 224; 192; 159; 127; 95; 63; 32]; а2=[1/2 1/2 0 0 0 0 0 0; 0 0 1/2 1/2 О О О О;

1/2 -1/2 О О О О О О; О О 1/2 -1/2 0 0 0 0;

0000100 0; 0000010 0;

00000010; 0000000 1]; аЗ=[1/2 1/2000000; 1/2 -1/2 000000;

0010000 0; 0001000 0;

0000100 0; 0000010 0;

00000010; 0000000 1]; w=a3*a2*al; dim=8;

fid=fopen(^,8x8^>,'r'); img^freadCfid,[dim,dim])'; fclose(fid); w*img*w' У, Результат преобразования

131.375 4.250 -7.875 -0.125 -0.25 -15.5 0 -0.25

О 0 0 00000

О 0 0 00000

О 0 0 00000

12.000 59.875 39.875 31.875 15.75 32.0 16 15.75

12.000 59.875 39.875 31.875 15.75 32.0 16 15.75

12.000 59.875 39.875 31.875 15.75 32.0 16 15.75

сертификат соответствия гост р и качества на продукцию.

12.000 59.875 39.875 31.875 15.75 32.0 16 15.75

типография петербург

Рис. 4.15. Программа и результат матричного вейвлетного преобразования WIW^T.