Преобразование Хаара [Stollnitz 92] используется на практике для отображения поддиапазона частот. Оно будет обсуждаться в главе 4. Однако, в силу простоты этого отображения, его также можно объяснить в терминах базисных изображений. Поэтому мы включили его рассмотрение и в этот параграф. Преобразование Хаара основывается на функциях Хаара hk{x), которые задаются при х Е [0,1] и для А; = 0,1,..., N - 1, где N = 2^п.

Прежде, чем задать это преобразование, напомним, что любое целое число к можно представить в виде суммы к = 2^Р+ q — 1, где 0 < р < п — 1, q = 0 или 1 при р = 0, и 1 < q < 2^Рпри р ф 0. Для N = 4 = 2², например, имеем следующие представления: 0 = 2°+ 0-1, 1 = 2°+ 1-1, 2 = 2¹ + 1-1иЗ = 2¹ + 2-1.

Базисные функции Хаара задаются формулами

ho(x) = hoo(x) = —р= при 0 < х < 1,(3.14)

y/N

и

₂р/2 Ozl < _х< <?-У²

ь 12Р — — 2Р '

_₂р/2,2^2 < _х< 1(3.15)

0 для остальных х G [0,1].

Теперь можно построить N х АГ-матрицу Адг преобразования Хаара. Элемент с индексами i,j этой матрицы равен hi(j), где
г =hk(x) = h_pq(x) = -= {0,1,..., N - 1 и з = O/N, 1/N, ...,(N- l)/N. Например,

Рис. 3.44. Базисные изображения преобразования Хаара при N = 8.

пуховики оптом от 5 штук.

(напомним, чтор = 0 и q = 1 при г = 1). На рис. 3.44 дана программа для вычисления этой матрицы для любого 7V, а также построены базисные изображения при N = 8 : Выпишем матрицы А4 и Ag.