Преобразование

Матричное определение преобразования Хаара будет использовано в этом параграфе для введения понятия банка фильтров [Strang, Nguyen 96]. Будет показано, что преобразование Хаара можно интерпретировать как банк, состоящий из двух фильтров: один пропускает низкие частоты, а другой - высокие. Будет дано объяснение термину «фильтр», а также показано, как простая идея банка фильтров ложится в основу концепции под диапазонных преобразований [Simoncelli и др. 90]. Конечно, преобразование Хаара является простейшим вейвлетным преобразованием, которое здесь употребляется для ...

В основе преобразования Хаара лежит вычисление средних и разностей. Оказывается, .что эти операции можно легко выразить с помощью умножений соответствующих матриц (см. [Mulcahy 96] и [Mulcahy 97]). Для примера рассмотрим верхнюю строку простого изображения размера 8 х 8 из рис. 4.8. Каждый, кто немного знаком с операциями над матрицами, легко построит матрицу, которая при умножении на некоторый вектор дает другой вектор, состоящий из четырех полусумм и четырех полуразностей элементов этого вектора. Обозначим эту матрицу Ai. Ее произведение на вектор рассматриваемого примера (верхняя ...

Примеры из этого параграфа иллюстрируют некоторые важные свойства вейвлетного преобразования Хаара, а также общих вейвлетных преобразований. На рис. 4.8 показан высоко коррелированный образ размера 8 х 8 и его преобразование Хаара. Даны числовые значение преобразованных коэффициентов и их графическое представление в виде квадратиков различных серых оттенков. Из-за высокой степени корреляции исходных пикселов, вейвлетные коэффициенты в основном малы по абсолютному значению и многие из них равны нулю.

Замечание. При первом взгляде на рис. 4.8 последнее утверждение ...

Мы начнем с одномерного массива данных, состоящего из N элементов. В принципе, этими элементами могут быть соседние пикселы изображения или последовательные звуковые фрагменты. Для простоты предположим, что число N равняется степени двойки. (Это будет предполагаться на протяжении всей главы, но в этом нет ограничения общности. Если длина N имеет другие делители, то можно просто удлинить массив, добавив в конце нули или повторив последний элемент нужное число раз. После декомпрессии, добавленные элементы просто удаляются.) Примером будет служить массив чисел ...

Преобразование Кархунена-Лоэвэ (его еще называют преобразованием Хотеллинга) имеет наилучшую эффективность в смысле концентрации энергии изображения, но по указанным выше причинам, оно имеет скорее теоретическое, нежели практическое значение. Данное изображение следует разделить на к блоков по п пикселов в каждом, обычно, п — 64, но допускаются и другие значения, а число к зависит от размера изображения. Рассматриваются векторы блоков, которые обозначаются Ъ^^г\ при г = 1,2,..., к. Усредненный вектор равен b - ...